Integral de \( \sec^4(x) \)

Derivación y evaluación

Evalúa la integral:

\[ \int \sec^4 x \, dx \]

Escribe el integrando \( \sec^4 x \) como el producto \( \sec^2 x \sec^2 x \):

\[ \int \sec^4 x \, dx = \int \sec^2 x \cdot \sec^2 x \, dx \]

Utiliza la identidad trigonométrica \( \sec^2 x = \tan^2 x + 1 \) para escribir la integral de la siguiente manera:

\[ \int \sec^4 x \, dx = \int (\tan^2 x + 1) \sec^2 x \, dx \]

Desarrolla el integrando y reescribe la integral como una suma de integrales:

\[ \int \sec^4 x \, dx = \int \tan^2 x \sec^2 x \, dx + \int \sec^2 x \, dx \]

Utiliza la integración por sustitución: sea \( u = \tan x \), lo que da \( \dfrac{du}{dx} = \sec^2 x \) o \( dx = \dfrac{1}{\sec^2 x} \, du \). Al sustituir esto se obtiene:

\[ \int \sec^4 x \, dx = \int u^2 \sec^2 x \left(\dfrac{1}{\sec^2 x}\right) du + \int \sec^2 x \, dx \]

Simplifica la expresión:

\[ \int \sec^4 x \, dx = \int u^2 \, du + \int \sec^2 x \, dx \]

Evalúa utilizando las fórmulas de integrales estándar \( \displaystyle \int u^2 \, du = \dfrac{1}{3} u^3 \) y la integral común \( \displaystyle \int \sec^2 x \, dx = \tan x \):

\[ \int \sec^4 x \, dx = \dfrac{1}{3} u^3 + \tan x + c \]

donde \( c \) es la constante de integración.

Sustituye de nuevo \( u = \tan x \) para obtener la respuesta final: